함수의 극한값 구하기 4유형2

함수의 극한

횐님들 0/0꼴 문제는 잘 풀고 계신가영~😀 오늘은 극한의 두 번째 유형인 ∞/∞꼴에 대해서 배워보겠어영. 수능에서는 0/0꼴과 ∞/∞꼴을 섞어서 내는 경우가 아주 많으니 두 유형 다 열심히 외워야겠지영?

 

함수의 극한값 구하기 4유형

 

먼저 ∞/∞꼴이 어떻게 생겼는지 살펴봅시다.

∞/∞꼴

x→∞라고 했으니 분자 분모의 x에 ∞를 대입해 보세영. ∞를 제곱해도 ∞, 여기에 5를 곱해도 ∞, ∞에서 1을 빼도 무한대이니 분모 전체가 ∞이고, 마찬가지 방법으로 하면 분자도 ∞가 나와영. 이러한 유형을 ∞/∞꼴이라고 합니다.

 

∞/∞꼴은 분모의 최고차항으로 분자 분모를 나눈다.

 

이 내용도 매우 중요하니 10번씩 소리내어 읽고 외워보세영. 이러한 풀이는 이과 문제에도 똑같이 적용됩니다. 극한 문제가 풀리지 않는 이유는 무슨 유형인지 구별하지 않아서예영. 0/0과 ∞/∞만 구별해도 풀 수 있는 문제가 많아져영.

 

다음 문제도 풀어봅시다.

분모의 차수 = 분자의 차수

분모의 최고차항이 x²이니 분자 분모에 있는 4개의 수를 모두 x²으로 나눠주면 돼영. 그리고 지난 시간에 숫자/∞는 0이라고 외우기로 했지영? 따라서 답은 4/5가 됩니다.

 

다음 문제예영.

분모의 차수 > 분자의 차수

이 문제는 분모의 최고차항이 x³이니 모두 x³으로 나눠주었어영. 그랬더니 결과는 0이 됐어영. 분모의 차수가 분자보다 더 높아서 그런 거예영.

 

∞/∞꼴의 문제를 풀 때 분모의 최고차항으로 나눠도 되지만 여러 번 풀고 나면 다음처럼 간단히 풀 수 있어영.

 

 

분모의 차수 = 분자의 차수이면 최고차항의 계수비 ★★★

분모의 차수 > 분자의 차수이면 0

분모의 차수 < 분자의 차수이면 ±∞

 

그러니까 1번 문제에서는 모두 최고차항이 x²이니, x²의 계수의 비율인 4/5가 답이고영, 2번 문제에서는 분모의 차수가 더 높으니 0, 3번 문제에서는 분자의 차수가 더 높으니 ∞라는 거예영. (만약 3번 문제에서 분모가 -5x였다면 -∞가 됩니다.)

 

사실 이렇게 기계적으로 암기하는 데는 이유가 있어영. 암기를 하지 않으면 응용 문제를 풀 수가 없거든영.

 

 

위와 같은 문제에서 f(x)가 다항함수라고 했을 때 f(x)를 구해봅시다.

 

1. 우변의 3을 보고 왼쪽 분수의 극한값이 수렴한다는 것을 알 수 있어영. (극한식의 우변에 숫자가 나왔다면 이것은 수렴한다는 뜻입니다.)

 

2. ∞/∞꼴 중에서 0이 아닌 숫자로 수렴하는 유형은 분모의 차수 = 분자의 차수일 때밖에 없어영. 따라서 f(x)는 이차식이고, 최고차항은 -3x²이 됩니다. f(x)=-3x²+ax+b라고 두면 돼영. 이 유형은 중간고사에 100% 나오니 꼭 외우시길 바라영.

 

 

3줄 요약.

1. ∞/∞꼴은 분모의 최고차항으로 분자 분모를 나누면 된다.

2. ∞/∞꼴의 극한값은 3가지 유형이 있다. (0이 아닌 숫자, 0, ±∞)

3. 분모가 ∞로 가는데 극한값이 존재하는 경우, 분자와 분모의 차수는 같다.