극한값 미정계수의 결정

함수의 극한

이제 어느 정도 극한값을 구할 수 있게 됐어영. 오늘은 거꾸로 극한값이 주어져 있을 때 미정계수를 구하는 방법에 대해서 배워보아영. 이 내용은 100% 시험에 출제될 수밖에 없는 내용이니 집중합시다. 우리가 다룰 극한값의 대부분은 분수꼴이에영. 분자가 있고, 분모가 있고 그 분수의 극한값(숫자)이 있어영. 앞으로 미분을 배울 때도 대부분 분수로 된 모양의 극한을 구할 것이니 눈에 익혀두어야 해영.

 

자주 나오는 극한 유형

교과서나 문제집의 참고서를 보면 극한값의 미정계수를 결정하는 파트에 증명이 잘 나와있을 거예영. 공부해두면 좋지만 처음 배우는 횐님에게는 어려울 수 있어영. 그래서 우선 결론만 외우고 우리가 극한을 잘 다루게 되었을 때에 증명을 하려고 해영. 오늘 배울 내용은 다음과 같아영.

 

극한값 미정계수의 결정

 

먼저 1번 유형을 설명할게영.

 

분수꼴 극한이 수렴하고 분모 → 0

극한값이 3으로 가고 있고, 분모는 0으로 가고 있지영. 이때 분자가 0으로 안 가면 무슨 일이 벌어질까영? 세 가지 유형이 있어영.

 

 

 

분자가 1과 같은 숫자로 간다면 분수 전체는 ∞로 가고영, 분자가 ∞로 가면 역시 분수 전체는 ∞로 가겠지영. 만약 분자가 0으로 같이 가준다면 0/0꼴이 되니 인수분해 후 약분을 하면 수렴할 수 있는 희망이 있는 거예영. 그래서 앞의 두 케이스는 절대 안 되니 분자가 0으로 간다고 대략 이해하면 돼영. (엄밀한 증명은 아니지만 암기하기 쉽게 그렇게 생각해영.)

 

분수꼴 극한값이 0이 아닌 값으로 수렴하고 분자 → 0

2번 유형도 마찬가지예영. 만약 전체적으로 분수의 극한이 3으로 가고 있고, 분자는 0으로 간다고 합시다. 이때 분모가 0으로 안 가면 어떻게 될까영?

 

분모가 1과 같은 숫자로 가면 분수 전체는 0으로 가고, 분모가 ∞로 가면 역시 분수 전체는 0으로 가영. 만약 분모가 0으로 같이 가준다면 0/0꼴이 되니 인수분해 후 약분을 하면 수렴할 수 있는 희망이 있는 거예영. 그래서 앞의 두 케이스는 절대 안 되니 분모가 0으로 간다고 대략 이해하면 돼영.

 

분수꼴의 극한이 수렴할 때

분모가 0으로 간다고 하면 분자도 0으로 간다
분자가 0으로 간다고 하면 분모도 0으로 간다 (이때 극한값≠0)

 

문제에 적용해 보아영.

분수꼴의 극한이 수렴하고 있고 분모가 0으로 가고 있네영. 그럼 분자도 0으로 가야 하고, 이 사실을 이용해 식을 정리하면 인수분해가 되면서 문제가 풀리겠어영.

 

0/0꼴은 유리화한 뒤에 인수분해서 약분

분자가 0으로 가는 케이스도 풀어보아영.

 

분수꼴의 극한이 0이 아닌 값으로 수렴하고 있고, 분자는 0으로 가고 있네영. 극한값이 0이었다면 분모가 꼭 0으로 가야할 필요는 없지만 여기서는 1/4로 수렴하려면 무조건 분모가 0으로 가야 해영.

 

이 유형은 수능과 내신 문제에 무조건 나온다고 보면 됩니다.🤴

 

2줄 요약.

 

1. 분수꼴의 극한이 수렴할 때 분모가 0으로 가면 분자도 0으로 가야 한다.

2. 분수꼴의 극한이 0이 아닌 숫자로 수렴할 때 분자가 0으로 가면 분모도 0으로 가야 한다.