2021학년도 9월 모의고사 수학 가형 21번 손해설지

2021학년도 9월 모의고사 수학 가형 21번 손해설지

횐님들 안녕하세영~~ 오늘은 9월 모의고사 수학 가형 21번 손해설을 들고 왔어영. 이과 21번과 30번은 대대로 악명이 높기에 풀기 전에 긴장했었지만, 확실히 최근 트렌트는 킬러의 난이도를 낮추고 비킬러의 난이도를 올리는 것인가 보네영. 2~3년 전 수능과 평가원의 21번과 30번을 보면 정말 한숨이 나오는데 이번 문제는 그 정도는 아니었고 살짝 어려운 정도였어영! 그러니 횐님들 21번을 포기하지 말고 꼭 시도해보시길 바라영.😃

 

2021학년도 9월 모의고사 수학 가형 21번

횐님들, 최대한 쉽게 의식의 흐름에 따라 설명해 볼게영. 함수 두 개가 있고 밑에 조건이 있는데 무슨 말인지 전혀 이해가 안 돼졍. 왜냐면 그리질 않았으니까영. 그래서 우선 f(x)와 g(x)를 그리려고 노력해야 해영. 둘 중에 g(x)가 확실하게 숫자가 정해져 있으니 g(x)부터 그리면 되겠졍? g(x)의 주기는 2π/12=π/6입니다. 그런데 [-2π, 2π]에서 정의되어 있다고 하니 엄청 많이 그려야겠졍? 여기서 포기하지 말고 우선 cos그래프를 3주기 정도 그려봅니다.

 

g(x)가 준비되면 f(x)를 그려야 하는데 그릴 수 없어영.ㅠ 왜냐면 f(x)의 주기는 2π/k인데 k를 모르니 아예 손을 댈 수가 없지영. 이럴 때 제가 자주 쓰는 방법은 k에 아무 숫자나 넣어보는 거예영! 문제에서 밑의 조건을 만족시키는 자연수 k를 구하라 하였으니, k에 1을 넣어보면 되겠졍.

 

k=1이면 f(x)의 주기가 2π이므로 [0, π/2]까지의 구간에 sin함수 1/4조각이 들어가는 셈이지영.  여기까지 f(x)와 g(x)를 그려보겠어영.

 

f(x)=sinx+2, g(x)=3cos12x

파란 그래프가 g(x)이고 검정 그래프가 f(x)예영. 이제 이 그림을 가지고 밑에 나와있는 조건을 해석하면 돼영. 사실 저는 k=1일 때로 생각해서 문제를 이해했지만 너무 조그매서 횐님들이 안 보이실 것 같아 k=6을 넣은 그래프를 그려볼게영. (저는 미리 다 이해하고 설명을 위해 숫자를 넣은 것이지만, 혼자 푸실 때는 k=1부터 넣어보면서 이해해도 돼영.)

 

k=6이면 f(x)의 주기는 π/3이므로 다음과 같은 그림이 됩니다.

 

f(x)=sin6x+2, g(x)=3cos12x

훨씬 보기가 나아졌졍? 이제 밑에 있는 조건에 맞는지 살펴봅시다. 두 함수의 교점이 많은데 그 중에 맨 처음 교점에 해당하는 y값을 a라고 하고 y=a를 연두색으로 그려볼게영.

 

 

그러면 파란 그래프와 y=a가 만나는 점은 π/3까지 4개가 있고, 빨간 그래프와 만나는 점은 2개가 있졍? 밑에 있는 조건의 의미는 빨간 점들의 x값이 파란 점들의 x값 중 하나여야 한다는 거예영. 

 

교점마다 y=a를 그어서 확인해 보았을 때
파란 그래프는 y=a와 혼자서만 만나도 되고
빨간 그래프는 y=a와 만날 때 파란 그래프랑 같이 만나야 한다.

 

이 조건을 만족하려면 k가 어떻게 돼야 하냐는 것이졍. 지금 k=6일 때는 이 조건을 만족하니 우선 k=6일 때는 답이에영.

 

그러면 맨 처음 그렸던 k=1도 이 조건을 만족하는 것을 알 수 있어영. k=1, 2, 3, 4… 이렇게 넣어서 답을 찾아도 아주 훌륭한 풀이입니다! 하지만 좀 더 추상화해 보면, 우선 f(x)의 주기는 g(x)보다 작아서는 안 되겠졍. f(x)가 g(x)보다 촘촘히 그려지면 혼자만 y=a랑 만나는 점이 생길 거 아니에영~~~

 

k=12일 때 그래프

횐님들 어려우실까봐 k=12일 때 그래프를 그려왔어영. f(x) 그래프의 주기도 π/6이니 두 함수의 주기가 같졍? 하지만 교점에 해당하는 연두색 선(y=a)을 그려보았을 때, 빨간 그래프 단독으로 y=a와 만나는 점이 생겨영. 이러면 안 됩니다.ㅠ 빨간 그래프는 파란 v표시가 있는 점에서만 나와야 한다구영! 따라서 12는 답이 아니었어영.

 

이렇게 몇 개의 그래프를 그리다보면 k는 12이하여야 하고, 파란 그래프와 주기가 맞아 떨어져야한다는 생각을 하게 돼영. k=5라든지 하면 파란 그래프와의 교점이 아닌 부분에서 y=a랑 만나게 될 테니까영. 그래서 f(x) 그래프의 1/4조각이 π/6, 2π/6, 3π/6…처럼 π/6의 배수여야 한다는 생각을 하게 돼졍. 대칭이 딱딱 맞아야 빨간 그래프 단독으로 만나는 점들이 없거든영.

 

이 중에서 자연수인 것을 고르면 k=1, 2, 3, 6밖에 없네영. 답은 4개였어영!

 

시험장에서는 이렇게 체계적으로 분석하지 않으셔도 돼영. k=1, 2를 몇 개 그려보았을 때 답이 12의 약수가 아닐까 하는 생각을 하게 됩니다. 그 중에서 k=4 같은 의심되는 아이들을 그려봐서 안 되면 제거하고 6같이 되는 애들은 답으로 체크하는 거예영. 문제를 많이 풀다 보면 이런 감이 오지영. 문제가 많이 어렵지는 않은데 그래프를 여러 번 그려야 해서 복잡하네영.ㅠ 문제를 다 풀어보신 횐님들은 2020학년도 수능 수학 가형도 풀어보러 갑시다!

2020학년도 수능 수학 가형 2번, 4번, 5번 풀이