2021학년도 9월 모의고사 수학 가형 30번 손해설지

횐님들 안녕하세영~~ 오늘도 빡공하고 계시졍? 21번을 올리고 난 뒤 허전해서 2021.년 9월 모의고사 수학 가형 30번 손해설도 들고 왔어영. 왠지 어려울 것 같았지만 막상 풀어보니 너무 쉬워서 깜놀.ㄷㄷ 작년 9월 가형 30번도 많이 어려운 편은 아니었지만 이번엔 많이 쉬워서 충격이었어영. 이제는 30번이라고 버릴 수가 없게 됐다구영. 조금만 공부하면 바로 맞출 수 있으니 같이 풀어보아영~~

2021학년도 9월 모의평가 수학 가형 30번

문제를 풀기 전에, 방정식, 부등식이 안 풀릴 때 그래프를 그려서 푼다는 것은 알고 계시졍? 넘나 중요하니 암기 필수예영. 문제에서 말한 부등식은 세 그래프의 위치가 위와 같이 됩니다.

접할 때가 답인 건 국룰. (일부러 안 접할 때가 답인 문제를 만들기도 하지만영.ㅠ)

그러면 본격적으로 그래프를 그려보면영, 두 지수함수 그래프는 (3/2, 0)에 대해 대칭이고영, 직선은 그 사이인 연두색 영역에 있으면 되는 걸 알 수 있어영. 문제에서는 기울기와 y절편의 곱이 최대일 때와 최소일 때를 구하라고 했지영. 두 영역 사이에 직선을 그려보면 기울기는 무조건 양수로 나오는 걸 알 수 있어영.

①번 직선처럼 위쪽 지수함수에 접하면 기울기와 y절편의 곱이 양수로 나오고, ②번 직선처럼 아래쪽 지수함수에 접하면 기울기와 y절편의 곱이 음수로 나오고, ③번 직선처럼 두 지수함수에 모두 접하면(공통접선) 기울기와 y절편의 곱이 음수임을 알 수 있어영.

꼭 접하지 않아도 되지 않냐고 한다면영.ㅠ 되긴 되지만 접했을 때가 최대 혹은 최소가 나오기 때문에 접할 때만 구하는 거예영. 이 3가지 케이스 중에서 답에 맞는 걸 찾아보아영.

세 경우 중에서 ①번 직선 혼자 양수이니 이 아이가 최대일 거고, ②번과 ③번 중에서는 ③번이 더 작은 값임을 알 수 있어영. 그림이 애매하게 그려지긴 했지만, ③번은 기울기도 더 크고 y절편도 더 작지영. 이 아이가 최소예영. 의심이 된다면 ②번 직선 식을 구해서 ③번 직선과 비교해도 됩니다.

③번을 구해보면영,

지수함수끼리 (3/2, 0)에 대해 대칭이라는 것을 알아내면 계산이 훨씬 편해영. ③번 직선을 구하려면 지수함수 위의 점을 접점으로 놓아서 접선의 방정식을 구한 뒤에 (3/2, 0)을 지난다는 사실을 이용하면 되니까영. (3/2, 0)을 지난다고 하면 자동으로 두 지수함수에 공통으로 접하게 됩니다. 그렇게 구하면 접점의 x좌표가 5/2로 나오고 접선의 방정식을 구하게 되어 ab=-3e/2라는 사실을 알게 돼영. 이게 최솟값이에영.

이번에는 ①번 직선을 구해봅시다. 마찬가지로 위의 점을 접점으로 놓고 접선의 방정식을 구하면 되겠졍.

이번에는 대칭을 활용할 수 없기 때문에 기울기와 y절편을 구해 각각 곱한 함수를 새로 구해줍니다. 이 아이의 최댓값을 구해야 하니 β에 대해서 미분을 하면 되겠졍? 구해보니 β=1/2일 때 최대인 것으로 나오네영. 1/2을 대입해주면 최댓값은 1/2e³이 됩니다. 최대와 최소를 곱하면 27/16이 나와서 답은 43이네영!

이 정도면 굉장히 전형적인 유형이라서 풀만 해영. 횐님들도 여러 번 반복하다보면 잘 푸실 수 있겠졍?? 9월 모의고사를 다 풀었으면 2020학년도 수능 수학 가형 기출문제도 풀어봅시다.

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