2020학년도 수능 수학 가형 8번, 9번 풀이

2020학년도 수능 수학 가형 8번, 9번 풀이

횐님들 안녕하세요~ 어느덧 2020학년도 수능 수학 가형 8번, 9번까지 왔네영! 이제 슬슬 가형에서만 나오는 문제들이 나오고 있지영. ln 나오면 이과 부심이 샘솟는다구영. 그럼 문제를 바로 풀어볼까영?

 

2020학년도 수능 수학 가형 8번

구간을 본 순간부터 치환해야겠다는 생각이 들지영? e는 그렇다 해도 e²은 대입하기에 살짝 복잡한 느낌이 드니까영. 안 하고 한 번에 하시는 횐님들도 계시겠지만 여기서는 차근차근 치환적분을 해 보겠어영. 뭘로 치환할까 고민이 많으실텐데, (lnx)'=1/x이라는 걸 알고 계신 횐님이라면 lnx를 치환해야겠다는 생각이 드실 거예영. 그렇게 해도 상관은 없지만 lnx-1까지를 치환하면 더욱 깔끔해지겠지영? -1은 미분하면 어차피 없어지니까영. 그럼 lnx-1=t라고 해 보겠어영!

 

2020학년도 수능 수학 가형 8번 풀이

치환을 할 문자를 설정해 두고 dx와 dt의 관계도 구해 두어야 적분이 가능하지영? 이렇게 치환을 하면 다음과 같이 됩니다.

 

2020학년도 수능 수학 가형 8번 풀이

여기서 빨간 동그라미는 쉽게 치환이 되는데 1/x이 하나 남아영. 여기서 당황하시면 안 됩니다.😥 평가원이 이렇게 문자 하나를 남겨둔 문제는 이미 수능에 많이 출제 되었어영. 위에서 lnx-1=t라고 치환했던 식을 변형해 x가 무엇인지 밝혀내야 합니다.

 

2020학년도 수능 수학 가형 8번 풀이

이제는 x에 대입을 할 수 있어영. 그러면 문제가 술술 정리가 됩니다.

 

2020학년도 수능 수학 가형 8번 풀이

그랬는데 한 번에 풀리지는 않아서 부분적분 가야 해영.

 

2020학년도 수능 수학 가형 8번

부분적분까지 마치고 나니 문제가 풀렸네영! 풀이는 좀 길었지만 실제로 손에 익으면 엄청 오래 걸리지는 않아영~~ 빨리 풀 수 있도록 연습을 많이 해야겠어영.

 

 

수능 가형에서 적분이 나오면
치환적분 또는 부분적분 중에 하나다.

 

이 문제는 두 가지 적분이 다 쓰였으니 그게 무슨 꿀팁이냐 할 수 있지만, 3년 전쯤 정말 경악할 만큼 어려웠던 21번류의 문제를 보면 치환적분으로 풀지, 부분적분으로 풀지 예상만 해도 문제가 조금 수월히 풀려영. 치환적분의 특징인 f'(x)dx가 식에 있느냐 없느냐에 따라 치환으로 할지 부분으로 할지 정해야 손을 댈 수 있거든영. 어쨌거나 치환적분과 부분적분이 어려우신 횐님들은 꼭 익히고 시험장에 가야 한 문제라도 더 풀 수 있으니 열공합시다~~

 

이번에는 9번이에영. 속력 문제입니다.

 

2020학년도 수능 가형 9번

물리를 좋아하시는 횐님들은 위치, 변위, 이동거리, 속도, 속력, 가속도 개념이 헷갈리지 않으실 거예영. 그래서 우선 그렇게 살짝 설명해 볼게영.

 

속력은 속도의 크기입니다. 그럼 속도는 어떻게 구하나영? 위치를 미분하면 됩니다. 그런데 이과 횐님들이 알아야할 것은, 우리는 2차원 세계를 계산하기에 위치 좌표가 x와 y 두 개로 이루어져 있다는 점이지영. 우리가 문과 범위인 수학2에서 속도를 계산할 땐 좌표가 x축 또는 y축 1개 밖에 없었던 점을 기억해 보세영. 수평으로 이동하는 물체나 수직으로 쏘아올린 로켓의 궤적등을 계산했지영.

 

여기서 조심해야 할 것은 변수는 3개라는 점이에영. x좌표, y좌표, 시간 t까지 놓으니까영. 이렇게 하면 2차원 좌표평면 위를 움직이는 물체의 속력을 구할 수 있게 되지영. 개미가 바닥을 기어다니듯이 x축과 y축으로만 운동하고 있고, z축으로 점프하는 건 고려하지 않아영. 횐님들이 내년에 대학을 가시면 일반물리 시간에 바로 3차원 좌표를 배우게 됩니다. 그러면 변수는 4개일 거고영~~ n차원 좌표도 수학적으로는 놓을 수 있겠지영. 

 

이런 맥락에서 위치를 좌표로 놓는다면 (x, y)=(t+sintcost, tant)가 되고영, 이를 각각 t로 미분하여 속도를 좌표로 놓을 수 있겠지영. 그 아이의 크기를 구해주면 됩니다. 하지만 이렇게 설명하지 않으려고영.ㅠ 기하와 벡터에서 이렇게 가르치는데 기하와 벡터가 사라졌기 때문에 이해가 안 되는 횐님이 있을 것 같아서영. 이 방법이 이해가 되면 그렇게 풀어도 됩니다!

 

드디어 공식을 써서 문제를 풀어보겠어영.

 

2020학년도 수능 가형 9번 풀이

속력 공식은 각각의 좌표를 미분하여 제곱해서 더한 뒤 루트를 씌우는 것이니까영, 이대로 계산을 했습니다. 그러고나서는 루트가 복잡하니 제곱을 한 값을 전개를 해서 cost로 삼각함수를 통일해 주었어영. 그랬더니 역수관계인 식이 나오면서 산술기하를 쓰고 싶게 생겼지영? 역수 나오면 산술기하는 국룰이에영. 그래서 제곱의 최솟값은 4가 되고 답은 2가 되었어영.

 

산술기하의 최솟값이 성립할 때는 둘의 값이 같을 때지영? 여기서는 각각 2가 나올 때, 그러니까 cos⁴t=1/2일 때 성립해영. 묻지는 않았지만 산술기하 최솟값이 언젠지 모르는 횐님들이 많아서영. 또르르. 모르시는 분들은 꼭 외워두세영!

 

여기까지 풀었는데도 살짝 숨이 차네영. 하지만~~ 설명을 하느라 길게 쓴 것일 뿐 실제로 풀 때는 오래 걸리지 않는다고영. 이 속도라면 후루룩 작년 수능을 훑을 수 있겠어영. 모두 홧팅!!

 

 

2020학년도 수능 수학 가형 10번, 11번, 12번, 14번 풀이도 확인해 보아영.😄

2020학년도 수능 수학 가형 10번, 11번, 12번, 14번 풀이