거듭제곱근(n제곱근) 총정리

거듭제곱근(n제곱근) 총정리

횐님들 안녕하세영~~ 벌써 1월도 반이 넘게 지났네영! 고1, 고2, 고3 횐님들 모두 열공 중이시졍? 오늘은 2학년 3학년 횐님들을 위해 거듭제곱근을 총정리하는 시간을 가져볼까 해영. 선행하고 계신 고1 횐님들도 같이 고고고!!

거듭제곱근(n제곱근) 총정리

제곱근은 쉬운데, 거듭제곱근은 어려워하는 횐님들이 많으시졍? 그래서 제곱근에서부터 기억을 더듬어 보려고 해영. 예를 들어 4의 제곱근을 구하라고 한다면 답은 ±2이지영. 어떤 숫자가 있는데 이 숫자를 제곱해서 4가 되는 아이를 4의 제곱근이라고 합니다. 우리는 워낙에 자주 접해서 ±2로 외운 것이지영. 즉, 제곱은 숫자를 제곱하는 것이고, 제곱근은 무엇을 제곱해야 그 숫자가 될지 거꾸로 찾아내는 것이에영. 그래서 a의 제곱근을 구하라고 할 때 √a라고 하면 안 되고, x²=a를 풀어서 나온 숫자를 말해야 정답이 됩니다. (a>0이면 ±√a라고 하면 되지만 a=0이면 0, a<0이면 ±√ai라고 해야겠지영.)

 

마찬가지로 거듭제곱근, 즉 n제곱근은 n제곱을 거꾸로 하는 과정을 뜻해영. 어떤 수(x)가 있는데 이 아이를 n제곱 했을 때 a가 나오게 하는 수를 a의 n제곱근이라고 합니다(n≥2인 정수). 이 정의를 안 외우시면 어려운 문제는 다 틀리게 됩니다.ㅠㅠ a의 n제곱근이라는 말을 보자마자 xⁿ=a라는 식을 쓴 뒤, 직접 n차방정식을 풀어서 대답을 하셔야 해영.★★★ 정의를 꼭 외웁시다.

 

정의를 다 외우고 나면 n차방정식을 풀기가 만만치 않다는 걸 알게 되실 거예영. n차방정식의 해는 모두 n개이므로, 실수 몇 개는 구하기 쉽지만 복소수 범위에서 모두 구하기는 어렵거든영. 그래서 내신 문제나 수능에서도 n제곱근 중에서 실수인 것을 구하라든지, 실수인 것의 개수만 구하라고 하지영. 그래서 우리는 다음과 같은 방법을 생각하게 됩니다. 

 

방정식 xⁿ=a의 실수해 ↔ y=xⁿ과 y=a의 그래프의 교점의 x좌표

 

방정식이나 부등식이 풀리지 않을 때 그래프를 이용해서 푸는 방법은 고등학교 수학 내내 가장 중요한 개념이라고 할 수 있어영. 이것이 확장되어서 미적분에 그대로 나오니까영. 꼭 이해하고 암기하시길 바라영.

 

그러면 n이 짝수냐 홀수냐에 따라 y=xⁿ의 그래프가 달라지는 걸 아실 거예영. n이 짝수인 y=x², y=x⁴, … 등등은 y=x²처럼 생겼고영, n이 홀수인 y=x³, y=x⁵, …등등은 y=x³처럼 생겼거든영. 그래서 우리가 n제곱근을 구할 때에도 n이 짝수인지 홀수인지부터 나누어 주어야 합니다.

 

그러고나면 y=a가 어디있는지에 따라 두 함수의 교점의 개수가 달라진다는 걸 알 수 있어영. n이 짝수인 경우에는 a>0이면 2개(±ⁿ√a), a=0이면 1개(ⁿ√0=0), a<0이면 교점이 없지영. 그래프에는 실근만 나타나므로 지금 말하는 교점의 개수는 실수인 n제곱근의 개수만을 의미합니다. 그리고 각각의 경우에 맞게 n제곱근을 표현할 수 있어야겠지영. n이 홀수인 경우에는 a의 값에 상관없이 항상 교점이 하나만 생기네영. 오히려 홀수 거듭제곱근이 쉬운 이유가 무조건 ⁿ√a라고 쓰면 답이기 때문이에영.(a가 음수라고 해서 -ⁿ√a라고 쓰지 않도록 하세영.) a가 양수든 음수든 홀수 거듭제곱근은 실수가 1개 나옵니다. 위의 두 그래프를 완벽히 이해하고 암기해야 어떻게 질문하더라도 절대 틀리지 않을 수가 있어영. 밑에 예시를 보면서 연습해 보세영~~

 

마지막으로, 중학교 3학년 때부터 우리의 발목을 계속 잡았던 표현이 있지영? 제곱근 a와 a의 제곱근을 구별하는 것입니다. 제곱근 a는 루트 a를 그냥 한국말로 읽은 거예영. 그러니 √a라고 쓰시면 됩니다. 반면에 a의 제곱근이라고 하면 제곱해서 a가 되는 숫자를 복소수 범위에서 모두 구하라는 거예영. 이러한 표현은 n제곱근에서도 반복되니 주의해 주세영!! 무조건 내신 시험문제에 나오니까영.

 

거듭제곱근이 어려우신 횐님들은 우선 정의를 외우고, 이를 xⁿ=a로 바꾸어서 풀어보세영. 이해가 안 되어도 암기를 다 하고 나서 문제를 풀면 조금 수월해질 거예영. 그러고나서 실수인 거듭제곱근을 구하려면 그래프를 그려서 교점을 구한다고 생각하면 정리가 되실 것 같네영!!

 

 

시험에 100% 나오는 지수법칙과 로그공식도 공부해 보세영.💯

시험에 100% 나오는 지수법칙, 로그공식