2020학년도 수능 수학 가형 19번, 20번, 21번, 22번, 23번 풀이

2020학년도 수능 수학 가형 19번, 20번, 21번, 22번, 23번 풀이

횐님들 안녕하세영~~ 오늘은 드디어! 2020학년도 수능 수학 가형 19번, 20번, 21번, 22번, 23번을 풀어보겠어영~~ 킬러문항이 모여 있으니 집중해서 풀어봐야겠지영??🤯

 

2020학년도 수능 수학 가형 19번, 20번 풀이

19번 문제는 벡터 문제네영~~ 평면벡터라서 그나마 쉽다는 말씀!! 먼저 벡터 AC와 BC의 내적이 0이라는 점에 주목해야겠지영?? 이것은 벡터에서 가장 중요한 개념이라고 해도 과언이 아니에영.ㅠㅠ 바로 선분 AC와 BC가 수직이라는 뜻이지영. 그런데 원 위의 선분 두 개가 수직한다는 것은, 선분 AB가 원의 지름이라는 뜻이지영. 이 한 줄에 너무나 중요한 내용이 두 개가 들어가 있네영.

 

이 내용이 잘 이해가 안 되시는 횐님들은 중학교 3학년 원주각 단원을 다시 자세히 보셔야겠어영.ㅠㅠ 원주각은 중심각크기의 1/2이고, 특히 원주각이 90˚일 경우에는 중심각이 180˚라는 의미가 됩니다. 즉 지름을 중심각으로 할 경우라는 것을 꼭 외우셔야 해영. 원이나 구에서 굉장히 중요한 개념이니 꼭 암기하시길 바라영.

 

그러니까 △ABC는 직각삼각형임을 (가)를 통해 알 수 있네영. 이제 (나)를 봅시다. (나)에서 벡터의 뺄셈이 나와있는데영, 우선 조금 쉽게 바꾸면 벡터 1/2AB는 벡터 AO로 바꿀 수 있겠지영? 선분 AB가 지름이니, AO는 반지름이 됩니다. 그리고 벡터 -2BC는 벡터 2CB와 같지영. 그러니까 벡터 AD는 벡터 CB 길이의 두 배이고 방향은 완전히 같다는 거예영. 벡터 AO와 벡터 OD를 더하면 AD가 된다는 것이지영. 따라서 선분 OD를 좀 더 연장하면 새로운 직각삼각형이 나오는 것을 알 수 있습니다. (아까 AC와 CB가 수직이었기 때문에 OD와도 수직이 되지영.)

 

선분 OD는 반지름이므로 길이가 4인데, 선분 CB의 두 배라고 했으므로 CB의 길이는 2가 됩니다. 이를 이용하면 새롭게 생긴 직각삼각형의 가장 짮은 변의 길이는 1이 되어 나머지 변은 √15가 됩니다. 따라서 선분 AD의 길이는 √15+25=√40으로 답은 40이 됩니다. 원주각과 닮음, 직각삼각형을 활용하면 풀 수 있는 문제였어영.

 

 

20번 문제는 확률과 통계 문제네영. 수능에서 확률과 통계 문제를 풀 때는 하나씩 써 보는 것이 좋습니다. 왜냐하면 체계적으로 풀려고 하다가는 시간이 많이 걸릴 수도 있기 때문이지영. 이 문제 역시 문제에서 요구하는 조건을 써 보면 5가지 경우가 나오는 것을 알 수 있어영. 먼저 앞면이 7번, 6번, 5번씩 나오는 경우에는 뒷면이 언제 나오더라도 무조건 앞면이 연속해서 나오기 때문에 문제가 없어영. 하지만 앞면이 4번, 3번인 경우에는 뒷면을 잘못 배치하면 앞면이 연속하여 나오지 않기 때문이 이런 아이들만 생각해서 빼 주면 되겠어영.

 

④번 케이스의 경우에는 앞뒤앞뒤앞뒤앞으로 나오는 경우에만 앞면이 연속으로 나오지 않아영. 그래서 앞앞앞앞뒤뒤뒤로 나열하는 7C4=35개 중에서 1개만 빼 주면 됩니다. ⑤번 케이스의 경우에는 뒷면의 개수가 더 많기 때문에 앞면이 연속하지 않는 경우가 꽤 되네영. 우선 뒷면 4개를 먼저 배치해 주고 사이사이에 앞면이 들어가는 경우만 빼 주면 됩니다. ㄷ ㄷ ㄷ ㄷ 중에서 앞면을 고르는 경우가 5C3=10개이므로 35-10=25가지의 경우만 앞이 3개 이상이고 앞면이 연속하는 경우가 됩니다. 따라서 계산값은 88×1/128=11/16이 되네영.

 

 

2020학년도 수능 수학 가형 21번, 22번, 23번 풀이

이번에는 21번입니다. 그래도 요즘에는 킬러문항은 조금 쉬워지고 준킬러가 어려워지는 추세여서 21번이 조금 풀 만하게 되었어영. 우선 접선의 방정식(직선)을 구해서 절댓값 함수를 만들어야 하는데영, 직접 식을 다 구해서 대입해도 되지만 해석을 먼저 해보겠어영.

 

y=|f(x)-h(x)|라는 절댓값 함수가 있을 때, f(x)는 직선이고 h(x)는 곡선인 함수라고 합시다. 이 함수가 미분이 가능하려면 우선 직선 f(x)와 h(x)가 아예 안 만나면 되겠지영. 혹은 만나더라도 접하기만 한다면 미분하는 데 문제가 없어영. 즉, 직선 f(x)가 h(x)를 통과하는 모양이라면 빼서 절댓값을 씌우는 과정에서 첨점이 생겨서 미분이 안 된다는 뜻이에영. 그러니 우리는 직선 f(x)가 접하는 상황에 대해 생각을 해야 합니다. 저는 y=f(x)+k와 y=lnx로 함수를 쪼개서 문제를 풀어볼게영.

 

우선 y=f(x)+k가 y=lnx에 접할 때의 k값을 구하고 싶어영. 그러니 y=lnx의 접선을 구해서 y=f(x)+k와 같다고 둘 예정이에영. y=lnx의 접점을 (p, lnp)라 하고 접선을 구하면 y=(1/p)x-1+lnp이므로 이 아이와 y=f(x)+k가 같다고 두면 k=-1-t+te^t-e^t이 됩니다. 이 직선이 더 밑으로 내려가면(=k가 더 작아지면) 접점이 아닌 교점이 생기게 되고 두 식을 빼서 절댓값을 씌웠을 때 첨점이 생겨서 미분이 불가능하게 됩니다. 따라서 접할 때의 k값이 최소가 되지영.

 

다음으로 g(t)의 그래프를 그려보려고 하는데 미분을 해도 영 풀리지 않아서 약간의 꼼수를 써야할 것 같아영. 우선 y=e^t(t-1)의 그래프를 그립니다. 이런 유형은 많이 그려봐서 대강 느낌이 오지영? y=e^t 그래프와 y=t-1을 그려서 곱해주면 대강의 개형을 그릴 수 있게 되지영. 또는 y=e^t(t-1)을 미분하면 t=0에서 극소임을 알 수 있어서 개형을 그릴 수 있어영. 여기에 y=t+1 그래프를 겹쳐서 그려주면 두 점에서 만나게 됨을 알 수 있어영.

 

ㄱ. 문제에서 a<b라고 했으므로 g(t)를 적분해서 음수가 되려면 g(t)<0인 부분이 존재하는지 보면 되지영. 당연히 존재하므로 참이에영. 

 

ㄴ. g(c)=0을 대입해서 g(-c)=0인지 확인하면 됩니다. 식이 복잡해 보이지만 e^c=(c+1)/(c-1)로 정리해서 대입하면 참이네영. 좀 더 공부를 하고 싶으신 횐님들은 y=e^x 와 y=lnx 그래프가 y=x에 대칭임을 활용하여 직접 접선의 방정식을 그려봐도 됩니다. 여기서는 간단히 풀이하기 위해 대입으로 확인했어영.

 

ㄷ. 이 아이가 조금 복잡해 보이기는 합니다. 그러나 ㄴ에 의해서 첫 번째 교점(α)이 -c이고 두 번째 교점(β)이 c가 됨을 알 수 있었지영. α와 β를 구하지 못하면 풀지 못하지영. 그래서 이 아이들을 대입해주면 -e^2c<-e^2인지를 묻는 문제가 됩니다. c>1인지 보면 되는 문제인데, y=g(t)를 그리는 과정에서 c가 1보다 오른쪽에 있음을 확인했지영? 그래서 ㄷ도 참임을 알 수 있어영. 답은 5번이네영.

 

 

22번이에영. 미분을 잘 하면 되는 문제네영. 미그그미를 활용하면 되겠지영? 답은 4가 됩니다.

 

 

23번도 이항분포의 공식을 잘 쓰면 바로 풀리네영. E(X)=np에서 p=1/4임을 구해서 V(X)=npq에 대입하면 15임을 알 수 있지영??

 

 

킬러문제들이 모여있는 부분이라서 긴장했는데 생각보다는 쉽게 풀리네영!! 2020학년도 수능 수학 가형 24번, 25번, 26번도 풀어보세영.🥰

2020학년도 수능 수학 가형 24번, 25번, 26번 풀이