2020학년도 수능 수학 나형 14번, 15번, 16번

2020학년도 수능 수학 나형 14번, 15번, 16번

횐님들 추석 연휴는 잘 보내셨나영? 긴 연휴였지만 이래저래 바빴네영. 오히려 학원 특강을 듣느라 바쁘신 횐님도 계시고, 가족분들을 만나뵙다가 추석을 다 보낸 횐님도 계시겠네영. 이제는 슬슬 또 일상으로 복귀해야겠지영? 수능 및 논술 대비에서 가장 중요한 작년 수능을 풀어봅시다. 오늘은 2020학년도 수능 수학 나형 14번, 15번이에영. 😊

 

2020학년도 수능 수학 나형 14번

 

극한 문제네영. 지금 극한을 배우고 있는 고2 횐님들도 충분히 풀 수 있는 문제지영? 수능에서는 함수의 극한 문제를 낼 때 꼭 x→∞와 x→a 두 가지 극한값을 주고 풀라고 합니다. 아닌 경우도 있지만 이 형태가 가장 기본적이고 많이 나온 형태예영. (가)는 ∞/∞꼴이므로 다항식의 차수를 알 수 있고, (나)는 0/0꼴이므로 다항식의 계수를 알 수 있겠지영?

 

수능에 나오는 극한값 두 가지

∞/∞꼴에서는 다항식의 차수 유추
0/0꼴에서는 다항식의 계수 유추

 

이제 본격적으로 문제를 풀어봅시다.

 

2020학년도 수능 수학 나형 14번 풀이

f(x)와 g(x)는 다항함수이므로 x→∞일 때 ∞로 가겠지영. 그래서 (가)의 극한값은 ∞/∞꼴이 됩니다. ∞/∞꼴이 2로 수렴한다는 것은 분자와 분모의 차수가 같다는 것이고, 분자의 최고차항은 2로 시작한다는 것을 알 수 있지영. 그래서 f(x)g(x)=2x³으로 시작한다는 것을 알게 됩니다.

 

(나)에서는 분모→0일 때 전체 극한값이 수렴하므로 분자도 0으로 간다는 것을 알 수 있지영. 그런데 분모에는 x²이 들어있으므로 분자에 x가 1개만 있다면 x를 약분하고도 분모가 여전히 0으로 가게 됩니다. 따라서 x가 2개 있어야 약분되어 사라져서 전체적으로 수렴하겠지영. 따라서 (가)와 (나)의 정보를 종합하면 f(x)g(x)=2x³+ax³의 꼴임을 구할 수 있네영.

 

이제 쓰지 않은 정보는 (나)에서 전체 극한값이 -4로 간다는 것이지영. 그래서 방금 구한 f(x)g(x)를 분자에 대입하여 값을 구해주면 a=-4가 나오지영. 그래서 f(x)와 g(x)가 각각 얼마인지는 모르지만 둘을 곱한 값이 2x³-4x²이라는 것은 알 수 있어영. 이제 문제의 조건에 따라 f(2)가 최댓값이 되도록 f(x)를 설정해줍니다. 만약 f(x)가 (x-2)를 인수로 가지면 f(2)=0이 되기 때문에 이 아이는 뽑지 말고, 나머지 인수를 뽑아 f(2)가 가장 커지게 하면 f(x)=2x²임을 알게 됩니다. 따라서 답은 8이에영.

 

2020학년도 수능 수학 나형 14번 풀이

수능에서 나오는 테마는 반복되지만 조금씩 문제 유형을 바꿔영. 이전에는 f(x)를 직접 구하게 주었을 텐데, 이 문제는 f(x)와 g(x)를 곱한 값을 구하게 하였지영. 그래서 당황하실 수도 있지만 기존에 나온 문제들과 큰 틀에서는 같은 유형이라고 할 수 있어영. 수능이 기출에서 나온다는 말은 문제가 똑같게 나온다는 것이 아니라, 이전 수능 문제를 풀 때 필요한 핵심적인 개념들이 반복된다는 뜻이에영. 세부적인 함수 모양은 조금씩 바뀌어서 나옵니다.

 

 

이제 15번이에영.

 

2020학년도 수능 수학 나형 15번

요즘 수능이 어렵다는 평가가 많은데 그건 중간에 15번 즈음부터 살짝 어려운 비킬러 문항이 많이 늘어났기 때문이에영. 혹시나 횐님들 수능날 문제를 풀다가 10번대에서 막히시면 3분 정도 생각해보고 넘어간 뒤 다시 앞으로 와서 푸세영. 시간 조절하기도 좋고 다시 풀다보면 쉽게 풀리기도 하니까영.

 

이 문제도 처음에 등차수열이라는 말을 보고 바로 공식에 넣었다가 너무 복잡해져서 다르게 푼 문제예영. Sn공식은 많은 횐님들이 외우고 계실테니 Sn을 구해서 다시 시그마에 넣으면 되기는 하지만 15번에서 시간을 많이 소모하고 말지영. 수능에서는 사고력을 측정하는 것을 중시하기 때문에 10번 중반 이후에는 단순 대입보다는 이해를 한 뒤에야 풀 수 있는 문제를 많이 냅니다.

 

Sn 공식을 넣어봤더니 너무 복잡하다는 걸 깨달았다고 치고, 문제에서 주어진 시그마 값을 전개해 보도록 합시다.

 

2020학년도 수능 수학 나형 15번 풀이

5개의 Sn들을 더했을 때 가장 커야한다는 조건이 있지영? 그러면 Sn이 어떤 모양을 띠는지 등차수열의 합 공식에 대입을 해 봅시다. 등차수열의 일반항이 1차식이므로 Sn은 당연히 2차식이겠지영? 참고로 Sn이 상수항이 없는 2차함수꼴이라는 점은 이전에 평가원 문제에 여러 번 나왔어영. 매우 중요한 사실이지영. ★★★

 

따라서 Sn의 그래프를 이차함수처럼 그려보면 n=13일 때 최대라는 것을 알 수 있어영. Sn을 5개 연달아 더해야 하는데 가장 크게 더하려면 가운데에 있는 m+2번이 13번이 되면 다섯명을 가장 크게 더할 수 있겠지영? 즉, 문제에서 구하라는 시그마값이 S11+S12+S13+S14+S15면 된다는 뜻이에영. 따라서 m은 11이 됩니다.

 

생각해보면 쉬운 문제인데 공식으로만 풀려고 하면 굉장히 복잡하겠지영? 이런 문제는 나온 적이 없기 때문에 작년 수험생들께서는 당황하셨을 수도 있어영. 한 번에 답이 나오지 않으면 조금 시간을 두고 뒤에 있는 문제를 풀었다가 다시 오면 의외로 쉽게 풀릴 수도 있으니 멘탈관리를 미리 해 둡시다.

 

 

16번은 이과 14번과 같기 때문에 같은 설명을 해 드리겠어영.

 

2020학년도 수능 수학 가형 14번, 2020학년도 수능 수학 나형 16번

문제가 너무 길어서 숨이 차네영.ㅠ 이럴 때는 한 줄씩 읽으며 문제를 정리해 줍니다. 우선 주머니와 공 문제가 나오면 주머니 그림을 그리기로 했지영?

 

2020학년도 수능 수학 가형 14번, 2020학년도 수능 수학 나형 16번 풀이

이렇게 그리기만 해도 문제 구조가 이해 되면서 술술 풀린다고영. 복원인지 비복원인지도 써 놓읍시다. 그리고 문제를 스윽 봤더니 평균이나 분산을 구해야 하지영? 저는 이럴 때 확률분포표의 분모를 통일해 둡니다. 이렇게 하면 1/6을 바깥으로 빼서 계산이 편해져영. (참고로 계산이 편해야 실수가 줄어듭니다. 뇌가 복잡하면 실수하게 마련이거든영.ㅠ)

 

2020학년도 수능 수학 가형 14번, 2020학년도 수능 수학 나형 16번 풀이

진짜로 분산을 구해봅시다. 분산은 제평평제인 것 아시졍?

 

분산 구하는 법

제곱의 평균에서 평균의 제곱을 뺀다.

 

2020학년도 수능 수학 가형 14번, 2020학년도 수능 수학 나형 16번 풀이

그냥 공식에 넣으면 답이 술술 나옵니다. 물론 통계에 공식이 워낙 많으니 헷갈려서 틀리는 횐님들이 계시긴 하겠어영. 또르르. V(Y)도 공식에 넣으면영,

 

2020학년도 수능 수학 가형 14번, 2020학년도 수능 수학 나형 16번 풀이

분산은 10²을 곱해야 한다는 사실을 잊지 마세영! 문제가 워낙 길었으나 아직 앞번호인 관계로 기본 공식만 활용하면 다 풀 수 있었네영.

 

이제 본격적으로 수능 푸는 느낌이 나네영. 풀이가 길기는 하지만 문제에 공식을 정확히 대입하면 다 풀리니 16번까지는 열심히 노력해서 모두 맞힐 수 있으시겠지영?

 

 

2020학년도 수능 수학 나형 17번, 19번, 20번도 풀어보세영!😎

2020학년도 수능 수학 나형 17번, 19번, 20번 풀이